Gaba a Katka našli kopu čokolád. Celková váha všetkých čokolád je $S$ kg a najťažšia z nich má $M$ kg. Dievčatá pri delení čokolády postupujú takto: rozdelia všetky čokolády do dvoch kôpok a potom lósom rozhodnú, ktorá kôpka ktorej z nich pripadne.

• a) Dokážte, že menšia kôpka má pri hocijakom rozdelení hmotnosť nanajvýš $S-M$.
• b) Ukážte, že dievčatá vedia čokolády rozdeliť na dve kôpky tak, že hmotnosť menšej kôpky bude aspoň $(S-M)/2$.

Máme kocku $ABCDEFGH$ s hranou dĺžky $1$ (zvyčajné označenie; vrcholy $A$ a $C$ sú koncovými vrcholmi stenovej uhlopričeky). Uvažujeme cesty v tvare lomených čiar, ktorých úsekmi sú hrany našej kocky (cesta môže po jednej hrane prechádzať aj viackrát). Ktorých ciest dĺžky $2010$ začínajúcich v bode $A$ je viac: tých, čo končia v $A$, alebo tých, čo končia v $C$? Svoju odpoveď podrobne zdôvodnite.

Ciferník hodín pozostáva z pravidelného dvanásťuholníka $A_1A_2\dotsb A_{12}$ vpísaného do kružnice s polomerom $1$. Označme $P$ priesečník priamok $A_1A_6$ a $A_4A_8$ a $k$ kružnicu s tetivou $A_1A_8$ a polomerom $1$ (rôznu od kružnice opísanej nášmu dvanásťuholníku). Dokážte, že

• a) bod $P$ leží na kružnici $k$;
• b) úsečky $PA_5$ a $A_1A_2$ majú rovnakú dĺžku;
• c) stred kružnice $k$ leží na úsečke $A_8A_{12}$.

Nájdite všetky postupnosti $a_1,a_2,\dotsb ,a_{10}$ zložené z desiatich prirodzených čísel, ktoré majú obe nasledujúce vlastnosti:

• pre každé $i\in \{ 1,2,\dotsb ,10\}$ platí $1\leq a_i \leq 100$;
• ak $i,j \in \{ 1,2,\dotsb ,10\}$, tak číslo $i+j$ delí $a_i+a_j$.

Marek navrhol Tomášovi, aby si vybral nejaké trojciferné číslo $\overline{abc}$. Potom ho požiadal, aby mu povedal súčet čísel $\overline{acb}$, $\overline{bac}$, $\overline{bca}$, $\overline{cab}$ a $\overline{cba}$. Vie Marek vždy z tohoto súčtu zistiť, ktoré číslo si Tomáš vybral? Svoju odpoveď podrobne zdôvodnite. (Symbolom $\overline{xyz}$ označujeme pozičný zápis čísla v desiatkovej sústave, teda $z$ označuje cifru na mieste jednotiek, $y$ na mieste desiatok a $x$ na mieste stoviek.)

Dvaja hráči, Mazo a Jakub, striedavo píšu na tabuľu usporiadané dvojice nezáporných celých čísel; začína Mazo. Ak chce niekto napísať na tabuľu dvojicu $(a, b)$, musí pre ľubovoľnú už napísanú dvojicu $(c, d)$ platiť $a < c$ alebo $b < d$. Prehráva hráč, ktorý je donútený napísať na tabuľu dvojicu $(0, 0)$.
a) Ukážte, že takáto hra vždy skončí po konečnom počte ťahov, bez ohľadu na to, ako Mazo s Jakubom hrajú.
b) Nájdite a popíšte víťaznú stratégiu pre jedného z hráčov.
(Víťazná stratégia je postup, ktorý zabezpečí hráčovi výhru pri akejkoľvek hre protihráča. Samozrejme, pri popise tohto postupu treba brať ťahy protihráča do úvahy.)

Daný je rovnostranný trojuholník $ABC$. Na jeho stranách $CA$, $AB$, $BC$ ležia v tomto poradí body $M$, $N$ a $P$ tak, že uhol $CMP$ je pravý a platí: $$|\angle CBM| = \frac{1}{2} |\angle AMN| = \frac{1}{3}|\angle BNP|$$ a) Dokážte, že trojuholník $NMB$ je rovnoramenný.
b) Zistite veľkosť uhla $CBM$.

Zaoberajme sa reálnymi funkciami $f$ a $g$, pre ktoré platí $f(g(x)) = g(f(x)) = −x$ pre každé reálne číslo $x$. $(∗)$
a) Nájdite aspoň tri rôzne dvojice vyhovujúcich funkcií $f, g$.
b) Dokážte, že ak platí $(∗)$ pre nejakú dvojicu funkcií $f, g$, tak obe tieto funkcie sú nepárne.
c) Nech dvojica $f, g$ spĺňa podmienku $(∗)$. Dokážte, že ku každému reálnemu číslu $b$ existuje práve jedno reálne číslo $a$, pre ktoré platí $f(a) = b$. (Funkcia $f$ s touto vlastnosťou sa nazýva bijektívna.)
d) Nájdite všetky polynómy $f$ nanajvýš tretieho stupňa, ku ktorým existuje funkcia $g$ tak, aby platil vzťah $(∗)$.