Dokážte, že ak je číslo $n$ druhou mocninou prirodzeného čísla, potom je súčin posledných dvoch cifier dekadického zápisu čísla $n$ párne číslo.

Je daný štvorec a $9$ priamok. Každá z týchto $9$ priamok delí tento štvorec na štvoruholníky, ktorých pomer obsahov je $2:3$. Dokážte, že aspoň $3$ z týchto priamok sa pretínajú v jednom bode.

Bod $M$ leží na priemere $AB$ kružnice $k$. Tetiva $CD$ prechádza bodom $M$ a pretína $AB$ pod uhlom $45^\circ$. Dokážte, že súčet $|CM|^2+|DM|^2$ nezávisí od výberu bodu $M$.

Pre ktoré reálne čísla $c$ existujú práve dve rôzne reálne čísla, ktoré sú riešením rovnice $x^3+(c-1)x+c=0$?

V pravidelnom $n$-uholníku je každá strana aj uhlopriečka zafarbená jednou z $n-1$ farieb. Vrchol sa nazýva dúhový, ak všetky strany a uhlopriečky, ktoré z neho vychádzajú, majú navzájom rôzne farby. Koľko najviac vrcholov môže byť dúhových?

Do daného ostrouhlého trojuholníka $ABC$ vpíšte trojuholník $KLM$ tak, aby jeho obvod bol najmenší možný.

Dokážte, že v každom konvexnom päťuholníku vieme vybrať $3$ uhlopriečky tak, že ich poprekladaním je možné zostrojiť trojuholník.

Nech $F_n$ je $n$-té Fibonacciho číslo. Nájdite všetky dvojice kladných celých čísel $(a,\ n)$ také, že $F_n + F_{2n} + F_{3n} = a! + 3$.

Do tabuľky $4\times4$ sú vpísané kladné reálne čísla tak, že súčin v každej pätici tvaru $T$ je rovný $1$. Zistite maximálny počet rôznych čísel zapísaných v tabuľke.

Je daný pravouhlý trojuholník $ABC$ s preponou $AB$. Na jeho odvesnách $BC$ a $AC$ sú postupne zvolené také body $K$ a $L$, že $|CK| = 2|BK|$ a $|AL| = 2|CL|$. Nech $D$ je päta výšky z vrcholu $C$ trojuholníka $ABC$. Dokážte, že body $K,\ C,\ L$ a $D$ ležia na jednej kružnici.

Dokážte, že pre ľubovoľné kladné čísla $x$ a $y$ platí nerovnosť $$x+y \geq \sqrt{xy} + \sqrt{\frac{(x^2 + y^2)}{2}}.$$

Nech $x_1,\ x_2,\ \dots,\ x_n$ sú nezáporné reálne čísla, ktorých súčet je 1. Dokážte, že existujú čísla $ a_1,\ a_2,\ \dots ,\ a_n$, z ktorých každé je rovné $0,\ 1,\ 2,\ 3,$ alebo 4 také, že $$(a_1,\ a_2,\ \dots,\ a_n)\not= (2,\ 2,\ \dots,\ 2)$$