Kladné celé číslo voláme Mihálovo, ak každá dvojica susedných cifier je deliteľná buď číslom \(19\), alebo \(21\) (napríklad \(7638\) je Mihálovo číslo, lebo \(76\) je násobok čísla \(19\), \(63\) je násobok čísla \(21\) a \(38\) je násobok čísla \(19\)). Koľko \(2025\)-ciferných Mihálových čísel existuje?

Kladné celé číslo voláme Mihálovo, ak každá dvojica susedných cifier je deliteľná buď číslom \(19\), alebo \(21\) (napríklad \(7638\) je Mihálovo číslo, lebo \(76\) je násobok čísla \(19\), \(63\) je násobok čísla \(21\) a \(38\) je násobok čísla \(19\)). Koľko \(2025\)-ciferných Mihálových čísel existuje?

Majme kladné celé čísla \(1 < x_1 < x_2 < x_3 < \dots < x_{2025}\). Pre \(i\in\{1, 2, \dots, 2025\}\) definujme \[ m_{i} = \left ( x_1 - \frac{1}{x_1} \right ) \left ( x_2 - \frac{1}{x_2} \right ) \dots \left ( x_i - \frac{1}{x_i} \right ). \] Najviac koľko z čísel \(m_1\), \(m_2\), \(m_3\)\(,\dots,\) \(m_{2025}\) môže byť celých?

Majme kladné celé čísla \(1 < x_1 < x_2 < x_3 < \dots < x_{2025}\). Pre \(i\in\{1, 2, \dots, 2025\}\) definujme \[ m_{i} = \left ( x_1 - \frac{1}{x_1} \right ) \left ( x_2 - \frac{1}{x_2} \right ) \dots \left ( x_i - \frac{1}{x_i} \right ). \] Najviac koľko z čísel \(m_1\), \(m_2\), \(m_3\)\(,\dots,\) \(m_{2025}\) môže byť celých?

V pravouhlom trojuholníku \(ABC\) je \(Q\) päta výšky z vrcholu \(C\) na preponu \(AB\). Polomery kružníc vpísaných do trojuholníkov \(ABC\), \(AQC\) a \(QBC\) označme zaradom \(r\), \(r_1\), \(r_2\). Dokážte, že \(|CQ| = r_1 + r_2 + r\).

V pravouhlom trojuholníku \(ABC\) je \(Q\) päta výšky z vrcholu \(C\) na preponu \(AB\). Polomery kružníc vpísaných do trojuholníkov \(ABC\), \(AQC\) a \(QBC\) označme zaradom \(r\), \(r_1\), \(r_2\). Dokážte, že \(|CQ| = r_1 + r_2 + r\).

Nech \(k\) je kružnica s celočíselným polomerom \(r\), vo vnútri ktorej sa nachádza \(4r\) úsečiek dĺžky \(1\). Daná je priamka \(p\). Dokážte, že existuje priamka \(p'\) rovnobežná s \(p\) alebo kolmá na \(p\) taká, že \(p'\) pretína aspoň \(2\) z daných úsečiek dĺžky \(1\).

Nech \(k\) je kružnica s celočíselným polomerom \(r\), vo vnútri ktorej sa nachádza \(4r\) úsečiek dĺžky \(1\). Daná je priamka \(p\). Dokážte, že existuje priamka \(p'\) rovnobežná s \(p\) alebo kolmá na \(p\) taká, že \(p'\) pretína aspoň \(2\) z daných úsečiek dĺžky \(1\).

Nájdite všetky usporiadané desatice reálnych čísel \((x_1, \dots, x_{10})\) také, že \[ x_i = 1 + \frac{6x_i^2}{x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2+x_6^2+x_7^2+x_8^2+x_9^2+x_{10}^2} \] pre všetky \(i\in\{1,\dots,10\}\).

Nájdite všetky usporiadané desatice reálnych čísel \((x_1, \dots, x_{10})\) také, že \[ x_i = 1 + \frac{6x_i^2}{x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2+x_6^2+x_7^2+x_8^2+x_9^2+x_{10}^2} \] pre všetky \(i\in\{1,\dots,10\}\).

Majme nekonečnú štvorcovú mriežku s \(n\) zafarbenými políčkami. V každom kroku sa pre každé políčko pozrieme na farbu samotného políčka, políčka hneď hore a políčka hneď vpravo. Ak sú aspoň dve z týchto troch políčok zafarbené, v ďalšom kroku bude toto políčko zafarbené, inak biele. Ukážte, že mriežka bude celá biela

1. po konečnom počte krokov,
2. po najviac \(2n\) krokoch,
3. po najviac \(n\) krokoch.

Majme nekonečnú štvorcovú mriežku s \(n\) zafarbenými políčkami. V každom kroku sa pre každé políčko pozrieme na farbu samotného políčka, políčka hneď hore a políčka hneď vpravo. Ak sú aspoň dve z týchto troch políčok zafarbené, v ďalšom kroku bude toto políčko zafarbené, inak biele. Ukážte, že mriežka bude celá biela

1. po konečnom počte krokov,
2. po najviac \(2n\) krokoch,
3. po najviac \(n\) krokoch.

Majme ostrouhlý trojuholník \(ABC\) s najdlhšou stranou \(AC\). Zostrojte na tejto strane bod \(D\) taký, že os uhla \(ADB\) bude rovnobežná so stranou \(BC\). Svoju konštrukciu popíšte a zdôvodnite jej korektnosť.

Majme ostrouhlý trojuholník \(ABC\) s najdlhšou stranou \(AC\). Zostrojte na tejto strane bod \(D\) taký, že os uhla \(ADB\) bude rovnobežná so stranou \(BC\). Svoju konštrukciu popíšte a zdôvodnite jej korektnosť.

Martin a Robka hrajú hru v tabuľke \(1\times{2025}\). Martin si najprv na papier napíše niekoľko kladných celých čísel. Robka vloží mincu do jedného z políčok. V každom ťahu si Martin vyberie číslo, ktoré má napísané na papieri - o toľko políčok sa pokúsi Robka posunúť mincu buď doľava, alebo doprava (podľa svojho rozhodnutia, ale ak je možné mincu presunúť, presunie ju, inak ostáva na nezmenenej pozícii). Koľko najmenej čísel si Martin musí napísať na papier, aby vedel zaistiť, že minca navštívi všetky políčka bez ohľadu na to, akým spôsobom hrá Robka?

Martin a Robka hrajú hru v tabuľke \(1\times{2025}\). Martin si najprv na papier napíše niekoľko kladných celých čísel. Robka vloží mincu do jedného z políčok. V každom ťahu si Martin vyberie číslo, ktoré má napísané na papieri - o toľko políčok sa pokúsi Robka posunúť mincu buď doľava, alebo doprava (podľa svojho rozhodnutia, ale ak je možné mincu presunúť, presunie ju, inak ostáva na nezmenenej pozícii). Koľko najmenej čísel si Martin musí napísať na papier, aby vedel zaistiť, že minca navštívi všetky políčka bez ohľadu na to, akým spôsobom hrá Robka?

Dokážte, že pre všetky kladné celé čísla \(n\) platí, že počet deliteľov čísla \(n\) končiacich cifrou \(1\) alebo \(9\) je rovnaký alebo väčší ako počet deliteľov čísla \(n\) končiacich cifrou \(3\) alebo \(7\).

Dokážte, že pre všetky kladné celé čísla \(n\) platí, že počet deliteľov čísla \(n\) končiacich cifrou \(1\) alebo \(9\) je rovnaký alebo väčší ako počet deliteľov čísla \(n\) končiacich cifrou \(3\) alebo \(7\).

Pre každé kladné celé číslo \(k\) väčšie ako \(1\) nech \(p(k)\) je najväčší prvočíselný deliteľ čísla \(k\). Dokážte, že existuje nekonečne veľa celých čísel \(n\) väčších ako \(2\) takých, že \[ \bigl(p(n+1)-p(n)\bigr)\bigl(p(n)-p(n-1)\bigr)>0. \]

Pre každé kladné celé číslo \(k\) väčšie ako \(1\) nech \(p(k)\) je najväčší prvočíselný deliteľ čísla \(k\). Dokážte, že existuje nekonečne veľa celých čísel \(n\) väčších ako \(2\) takých, že \[ \bigl(p(n+1)-p(n)\bigr)\bigl(p(n)-p(n-1)\bigr)>0. \]

Nech \(k\) je pevná kružnica so stredom \(S\) a polomerom \(r\). Nech \(B\) a \(C\) sú dva rôzne pevné body na \(k\). Nech \(A\) je pohyblivý bod na \(k\), odlišný od \(B\) a \(C\). Nech \(P\) je bod taký, že stred úsečky \(SP\) je \(A\). Priamka prechádzajúca bodom \(S\) a rovnobežná s priamkou \(AB\) pretína priamku prechádzajúcu bodom \(P\) a rovnobežnú s priamkou \(AC\) v bode \(D\).

1. Dokážte, že keď sa bod \(A\) pohybuje po kružnici \(k\) (okrem bodov \(B\) a \(C\)), bod \(D\) leží na pevnej kružnici, ktorej polomer je väčší alebo rovný \(r\).
2. Dokážte, že rovnosť v časti a. nastane práve vtedy, keď je úsečka \(BC\) priemerom kružnice \(k\).

Nech \(k\) je pevná kružnica so stredom \(S\) a polomerom \(r\). Nech \(B\) a \(C\) sú dva rôzne pevné body na \(k\). Nech \(A\) je pohyblivý bod na \(k\), odlišný od \(B\) a \(C\). Nech \(P\) je bod taký, že stred úsečky \(SP\) je \(A\). Priamka prechádzajúca bodom \(S\) a rovnobežná s priamkou \(AB\) pretína priamku prechádzajúcu bodom \(P\) a rovnobežnú s priamkou \(AC\) v bode \(D\).

1. Dokážte, že keď sa bod \(A\) pohybuje po kružnici \(k\) (okrem bodov \(B\) a \(C\)), bod \(D\) leží na pevnej kružnici, ktorej polomer je väčší alebo rovný \(r\).
2. Dokážte, že rovnosť v časti a. nastane práve vtedy, keď je úsečka \(BC\) priemerom kružnice \(k\).

Dokážte, že pre všetky kladné celé čísla \(x < y\) platí \[\frac{y^y}{x^x(y-x)^{(y-x)}} > \frac{y!}{x!(y-x)!} > \frac{y^y}{x^x(y-x)^{(y-x)}(y+1)}.\]

Dokážte, že pre všetky kladné celé čísla \(x < y\) platí \[\frac{y^y}{x^x(y-x)^{(y-x)}} > \frac{y!}{x!(y-x)!} > \frac{y^y}{x^x(y-x)^{(y-x)}(y+1)}.\]