Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

Zadania seminára STROM, 39. ročník - Zimný semester


Vzorové riešenia 1. série nájdeš v časopise STROM-39-2
Vzorové riešenia 2. série nájdeš v časopise STROM-39-3
Prosíme všetkých riešiteľov, aby dbali na čitateľnosť nahratých riešení - namiesto odfotenia riešenia zo zošita riešenie radšej napíšte na čistý papier formátu A4, oskenujte (prípadne využite mobilné aplikácie, ktoré skener nahradia) a nahrajte ho správne orientované vo formáte PDF. Riešiteľ riskuje stratu bodov za všetko, čo opravovatelia neprečítajú.
1. Dokážte, že pre všetky prirodzené čísla n platí, že 6 delí n3+11n.
2. Štvorciferné číslo ¯abcd, ktoré spĺňa podmienky a2+b2=c2+d2, a+b=c+d nazývame šikovné. Koľko existuje šikovných štvorciferných čísel?
3. Robot Karol stojí na jednom z bodov nekonečnej štvorcovej mriežky. V hlave má dve pamäťové jednotky A a B. Keď sa pohne o jednu štvorcovú dĺžku smerom hore, číslo v jednotke A sa zväčší o 1. Naopak, ak sa pohne smerom dole, toto číslo sa zmenší o 1. Ak sa pohne smerom doprava, do jednotky B sa pričíta číslo v A a naopak, ak sa pohne smerom doľava, toto číslo sa od čísla v jednotke B odčíta. Robot Karol sa pri svojom pohybe riadi nasledovnými pravidlami:
  • vždy sa posúva iba do najbližších susedných bodov siete (smerom hore, dole, doprava alebo doľava, nie uhlopriečne)
  • nikdy sa neposunie do bodu mriežky, ktorý už navštívil (ak nejde o počiatočný bod trasy)
Ak viete, že robot Karol má na začiatku v oboch pamäťových jednotkách hodnotu 0, dokážte, že po ľubovoľnej prechádzke po štvorcovej sieti, pri ktorej sa vráti naspäť na pôvodné miesto, sa v pamäťovej jednotke B bude nachádzať číslo, ktorého absolútna hodnota udáva obsah plochy, ktorú svojou trasou ohraničil.
4. Máme desať vrecúšok a v každom je 100 mincí. V deviatich z nich sú pravé mince, ktoré vážia 10 gramov a v jednom sú falošné mince vážiace 11. Ako pomocou jedného váženia a digitálnej váhy zistíte, v ktorom vrecúšku sú falošné mince?
5. Nech H je ortocentrum ostrouhlého trojuholníka ABC. Dotyčnice z bodu A ku kružnici k zostrojenej nad priemerom BC sa dotýkajú kružnice k v bodoch P a Q. Dokážte, že body P, Q, H ležia na jednej priamke.
6. Určte všetky prirodzené čísla m, pre ktoré sa dá štvorec m×m rozdeliť na päť obdĺžnikov, ktorých dĺžky strán sú 1,2,,10 v nejakom poradí.

Vzorové riešenia 1. série nájdeš v časopise STROM-39-2
Vzorové riešenia 2. série nájdeš v časopise STROM-39-3
Prosíme všetkých riešiteľov, aby dbali na čitateľnosť nahratých riešení - namiesto odfotenia riešenia zo zošita riešenie radšej napíšte na čistý papier formátu A4, oskenujte (prípadne využite mobilné aplikácie, ktoré skener nahradia) a nahrajte ho správne orientované vo formáte PDF. Riešiteľ riskuje stratu bodov za všetko, čo opravovatelia neprečítajú.
1. Ukážte, že pre všetky prirodzené čísla a, b, c, d platí, že (ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(dc) je deliteľné 12.
2. Majme postupnosť čísel, pre ktorú platí a2=5 a an=n2an1 pre n>2. Zistite hodnotu a999 a svoje riešenie odôvodnite.
3. V trojuholníku ABC označme M ako stred strany BC a D vnútorný bod strany AB. Priesečník AM a CD nazveme E. Ukážte, že ak |AD|=|DE|, potom |AB|=|CE|.
4. Dokážte, že pre všetky prirodzené čísla n platí n(1+12+13++1n)1+12+13++1nn.
5. Máme balíček 2n rôznych kariet. Každé zamiešanie zmení poradie kariet z a1,a2,,an,b1,b2,,bn na a1,b1,a2, b2,,an,bn. Určte všetky n, pre ktoré ak zamiešame balíček 8-krát, budú karty v rovnakom poradí ako na začiatku.
6. Nech x1,x2,,x19 sú prirodzené čísla menšie rovné 93 a nech y1,,y93 sú prirodzené čísla menšie rovné 19. Dokážte, že potom existuje (nenulový) súčet niektorých xi, ktorý je rovný súčtu niektorých yj.

Newsletter

Nenechajte si ujsť akcie, ktoré chystáme a odoberajte náš newsletter!