Nová kolekcia kalkulačiek pod názvom „Nevybuchnem" má iba gombíky ’+1’, ’−1’, ’+4’ a ’−4’. Kedykoľvek je však výsledok operácie deliteľný štyrmi, kalkulačka vybuchne. Na kalkulačke svieti číslo 1. Dá sa pomocou práve 2010 operácií dostať ku číslu 2?

Popíšte trojuholníky, ktoré sa dajú jedným priamym rezom rozdeliť na dva navzájom podobné trojuholníky. Svoje tvrdenie zdôvodnite. (Príklad vhodného popisu: sú to trojuholníky s dĺžkami strán $a$, $b$, $c$, pre ktoré platí $a + 2b = 4c$. Nezabudnite nielen ukázať, že vami popísané trojuholníky vyhovujú, ale treba tiež zdôvodniť, prečo nevyhovuje žiaden trojuholník, ktorý váš popis nespĺňa.)

Máme dané dĺžky $a$ a $b$, pričom vieme, že sa dá zostrojiť pravidelný mnohouholník so stranou veľkosti a a najdlhšou uhlopriečkou veľkosti $b$. Pomocou pravítka a kružidla ho zostrojte, ak nepoznáte počet jeho strán, dokonca ani neviete, či je tento počet párny alebo nepárny.

Maťko a Kubko si vymysleli novú hru na svojej šachovnici $11\times{11}$. Každý hráč môže na šachovnicu v svojom kole položiť na ľubovoľné políčko jeden oriešok (O) alebo jeden xylofón (X). Je to na ňom, čo a kde položí (t.j. vždy si môžu vybrať, či položia O alebo X). Vyhráva ten, kto prvý vytvorí 3 rovnaké symboly v riadku, stĺpci alebo pozdĺž diagonály. Ak Maťko začína, pre koho existuje víťazná stratégia? Mohlo by sa stať, že by ich hra skončila remízou? (Víťazná stratégia je postup, ktorý umožní hráčovi zvíťaziť pri akýchkoľvek ťahoch protihráča.)

Kružnica k prechádza vrcholmi $A$ a $B$ rovnoramenného trojuholníka $ABC$ so základňou $AB$ a dotýka sa priamky $AC$. Dokážte, že kružnica k prechádza stredom vpísanej kružnice, stredom opísanej kružnice alebo priesečníkom výšok trojuholníka $ABC$.

Dlhý John získal mapu pokladu. Poklad je zakopaný v bode $(x, y)$ s celočíselnými súradnicami (môžu byť aj záporné). Tento bod však na mape zobrazený nie je, miesto toho sú tam len napísané hodnoty $x^2+y$, $x+y^2$ (vieme, ktorá z nich prislúcha ktorému výrazu). Tieto hodnoty sú rôzne. Dokážte, že ak John nie je hlúpy, stačí mu na získanie pokladu kopať na jedinom mieste.

Na ostrove „Pochúťka" žije 20 kanibalov. Každý z kanibalov má niektorých zo svojich spoluostrovčanov rád a zvyšok nemá rád (nikdy to však nemenia). Každý deň, všetkých, ktorých má rada aspoň polovica žijúcich obyvateľov ostrova, zabijú a zjedia na večeru. Ukážte, že ak prvého októbra bol zjedený prvý kanibal, tak od jedenásteho októbra už nie je možné zjesť nikoho, lebo nikto zo žijúcich kanibalov nechutí aspoň polke obyvateľov ostrova.

Zostrojte štvoruholník $OLDA$, do ktorého sa dá vpísať kružnica s polomerom $4 cm$. Navyše viete, že strana $OL$ je dlhá $6 cm$, veľkosť uhla $OLD$ je $120^\circ$ a vrchol $A$ leží na osi uhla $OLD$. Vedeli by ste ho zostrojiť aj v tom prípade, ak by strana $OL$ bola dlhá $18 cm$?

Pre kladné reálne čísla $a$ a $b$ platí $a^2+b^2=1$. Dokážte, že pre ľubovoľné reálne čísla $c$ a $d$ potomplatí $(ac + bd)^2\leq c^2 + d^2$. Pre ktoré čísla c a d nastáva v tejto nerovnosti rovnosť?

Môže mať mocnina dvojky (s prirodzeným exponentom) vo svojom dekadickom zápise (t.j. zápise v desiatkovej sústave) rovnaký počet jednotiek, dvojok, . . . , deviatok? Svoje tvrdenie nezabudnite poriadne odôvodniť.

Stredy strán $AB$, $BC$ a $CA$ ostrouhlého trojuholníka $ABC$ označíme postupne $K$, $L$ a $M$. Nech kružnice so stredmi v bodoch $K$, $L$, $M$ prechádzajúce priesečníkom výšok $V$ trojuholníka $ABC$ pretnú strany trojuholníka (strany ako úsečky) v šiestich bodoch. Dokážte, že potom týchto šesť bodov leží na jednej kružnici.

Pre ktoré kladné celé čísla $n$ existuje polynóm $P$ stupňa $n$ s reálnymi koeficientmi taký, že $P(0), P(1), P(2), \dots , P(n − 1), P(n + 1), P(n + 2), P(n + 3) $ sú celé čísla a $P(n)$ nie je celé číslo?