Processing math: 100%

Zadania seminára STROM, 43. ročník - Letný semester


Prosíme všetkých riešiteľov, aby dbali na čitateľnosť nahratých riešení - namiesto odfotenia riešenia zo zošita riešenie radšej napíšte na čistý papier formátu A4, oskenujte (prípadne využite mobilné aplikácie, ktoré skener nahradia) a nahrajte ho správne orientované vo formáte PDF. Riešiteľ riskuje stratu bodov za všetko, čo opravovatelia neprečítajú.
1. Dokážte, že n+1+n1 nie je racionálne číslo pre žiadne celočíselné n.
2. Nech a, b, c, x, y a z sú nezáporné reálne čísla také, že a2+b2=c2 a x2+y2=z2. Dokážte, že potom platí (a+x)2+(b+y)2(c+z)2 a zistite, kedy nastáva rovnosť.
3. Máme šachovnicu n×n. Niektoré políčka (okrem ľavého horného a pravého dolného rohu) nafarbíme na červeno tak, že šachový kôň sa nevie dostať z ľavého horného rohu do pravého dolného rohu bez toho, aby musel stúpiť na červené políčko. Zistite, pre ktoré n platí, že pri ľubovoľnom takomto ofarbení vieme nájsť tri po sebe idúce políčka na nejakej diagonále (berieme do úvahy všetky diagonály, nielen uhlopriečky štvorca) také, že aspoň dve z nich sú červené.
4. Lichobežník ABCD je vpísaný do kružnice tak, že základňa lichobežníka AB je jej priemer. Označme E priesečník uhlopriečok lichobežníka ABCD, S stred úsečky AB a zostrojíme bod X tak, aby bol ASEX rovnobežník. Ukážte, že |XA|=|XD|.
5. Dokážte, že ak funkcia f:RR spĺňa nerovnosti f(x)x a f(x+y)f(x)+f(y) pre všetky x, y reálne čísla, potom f(x)=x pre všetky reálne x.
6. V škole sa niektoré dvojice žiakov kamarátia a niektoré nie (kamarátstvo je obojstranné). Tímom nazývame skupinu práve 20 ľudí, v ktorej sa všetci navzájom kamarátia. Každý žiak je členom nejakého tímu, ale keď zrušíme ľubovoľné kamarátstvo, tak vždy bude existovať aspoň jeden žiak, ktorý nie je v žiadnom tíme. Tím, ktorý obsahuje žiaka, ktorý má kamarátov len v tomto tíme, nazveme "tím so stredom" Dokážte, že pre ľubovoľnú dvojicu žiakov, ktorí sa kamarátia, existuje tím so stredom, ktorého sú obaja členmi.

Prosíme všetkých riešiteľov, aby dbali na čitateľnosť nahratých riešení - namiesto odfotenia riešenia zo zošita riešenie radšej napíšte na čistý papier formátu A4, oskenujte (prípadne využite mobilné aplikácie, ktoré skener nahradia) a nahrajte ho správne orientované vo formáte PDF. Riešiteľ riskuje stratu bodov za všetko, čo opravovatelia neprečítajú.
1. V tabuľke 25×25 sú čísla +1 a 1. Nech ai je súčin čísel v i-tom riadku a bj je súčin čísel v j-tom stĺpci. Dokážte, že súčet a1+b1++a25+b25 nie je rovný nule.
2. Ukážte, že neexistuje aritmetická postupnosť s kladnou diferenciou s práve 3, nie nutne po sebe nasledujúcimi, členmi z nekonečnej geometrickej postupnosti {2k}k=0.
3. V lichobežníku ABCDAB a CD rovnobežné a navyše platí |BC|=|AB|+|CD|. Nech F je stredom AD. Nájdite všetky možné veľkosti uhla BFC.
4. Máme trojuholník ABC a na strane AB vyznačíme bod S tak, aby |AS|=|BS|. Následne označme I1 stred kružnice vpísanej trojuholníku CAS a I2 stred kružnice vpísanej trojuholníku CBS. Označme k1 kružnicu opísanú trojuholníku AI1C a k2 kružnicu opísanú trojuholníku BI2C. Dokážte, že k1 a k2 sa okrem bodu C pretínajú na priamke CS.
5. Nájdite všetky trojice celých čísel (a,b,c) také, že 3a+3b+3c je druhou mocninou celého čísla.
6. Nájdite všetky funkcie f(x) na reálnych číslach spĺňajúce f(t2+u)=tf(t)+f(u) pre všetky reálne čísla t a u.

Newsletter

Nenechajte si ujsť akcie, ktoré chystáme a odoberajte náš newsletter!