Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

Zadania seminára STROM, 48. ročník - Letný semester


Vzorové riešenia 1. série nájdeš v časopise STROM-48-5
Vzorové riešenia 2. série nájdeš v časopise STROM-48-6
Prosíme všetkých riešiteľov, aby dbali na čitateľnosť nahratých riešení - namiesto odfotenia riešenia zo zošita riešenie radšej napíšte na čistý papier formátu A4, oskenujte (prípadne využite mobilné aplikácie, ktoré skener nahradia) a nahrajte ho správne orientované vo formáte PDF. Riešiteľ riskuje stratu bodov za všetko, čo opravovatelia neprečítajú.
1. Vo vrcholoch 40-uholníka sú ľubovoľne vpísané čísla od 1 do 40, každé práve raz. Koľko najviac z nich môže byť deliteľných svojím susedom v smere hodinových ručičiek?
2. Nájdite všetky reálne čísla a, pre ktoré: a20242a2023+2a20222a2021++2a22a+1=0.
3. V lichobežníku ABCD je strana AB rovnobežná so stranou CD a pri vrcholoch A a D sú pravé uhly. Na úsečke BC vyznačíme bod E tak, aby platilo |CE|=|EB|=|AB|. Dokážte, že veľkosť uhla BED je trojnásobkom veľkosti uhla CDE.
4. Alica a Beáta hrajú hru. Na začiatku hry je na stole n2 kamienkov a v prvom ťahu si zo stola Alica vezme nejaký počet kamienkov (ale nie všetky). Následne sa striedajú v ťahoch, pričom vždy môže hráč zobrať len počet kamienkov, ktorý je menší alebo rovný počtu kamienkov, ktoré zobral hráč pred ním. Hru vyhráva hráč, ktorý zo stola zoberie posledný kamienok. V závislosti od n určte, ktorý hráč má víťaznú stratégiu.
5. 64 škriatkov sa hrá so šachovnicou 64×64 políčok. Postupne si vyberajú po jednom políčku, až kým nie sú rozdelené všetky políčka (teda na konci má každý z nich vybraných presne 64 políčok). Dokážte, že bez ohľadu na to, ako si škriatkovia políčka vyberajú, vždy bude existovať riadok alebo stĺpec, v ktorom bude mať aspoň 8 rôznych hráčov po aspoň jednom políčku.
6. Majme trojuholník ABC. Na strane AC je bod D a os uhla BAC pretína úsečku BD v bode X a úsečku BC v bode Y tak, že platí AX:XY=3:1 a BX:XD=5:3. Určte veľkosť uhla ACB pomocou veľkosti uhla BAC.

Vzorové riešenia 1. série nájdeš v časopise STROM-48-5
Vzorové riešenia 2. série nájdeš v časopise STROM-48-6
Prosíme všetkých riešiteľov, aby dbali na čitateľnosť nahratých riešení - namiesto odfotenia riešenia zo zošita riešenie radšej napíšte na čistý papier formátu A4, oskenujte (prípadne využite mobilné aplikácie, ktoré skener nahradia) a nahrajte ho správne orientované vo formáte PDF. Riešiteľ riskuje stratu bodov za všetko, čo opravovatelia neprečítajú.
1. Nech prvých 5 členov postupnosti je 1,2,3,4 a 5. Od šiesteho člena ďalej platí, že každý člen postupnosti sa rovná súčinu všetkých predchádzajúcich členov mínus 1. Dokážte, že súčin prvých 70 členov postupnosti sa rovná súčtu ich druhých mocnín.
2. Paťo má na tabuli napísané všetky celé čísla od 1 do N. V jednom kroku zmaže jedno číslo na tabuli a spolu s ním zmaže aj všetky jeho delitele, ktoré boli na tabuli, a napíše všetky jeho kladné delitele, ktoré na tabuli neboli. Napríklad, ak sú na tabuli čísla 1, 2, 5 a 6, tak po zmazaní 6 budú na tabuli 3 a 5.
  1. Dokážte, že pre ľubovoľné N sa Paťo vie dostať do stavu, keď na tabuli nebude napísané žiadne číslo.
  2. Dokážte, že bez ohľadu na N a na to, ako si Paťo čísla vyberá, vždy v konečnom počte krokov dôjde do stavu, keď na tabuli nebude napísané žiadne číslo.
3. Na začiatku hry máme 3 krabice, v ktorých je postupne 2023,2024 a 2025 kameňov. Anna a Boris sa striedajú v ťahoch, Anna začína. Ten, kto je na ťahu si vyberie 2 krabice, odstráni z nich všetky kamene a potom rozdelí kamene z tretej krabice do všetkých troch krabíc:
  1. rovnomerne (tak, aby rozdiel počtov kameňov v rôznych krabiciach bol najviac 1)
  2. ľubovoľne
tak, aby žiadna krabica nebola prázdna. Keď hráč nemôže uskutočniť platný ťah, prehral. Ktorý z hráčov má víťaznú stratégiu a akú?
4. Nech O je stred opísanej kružnice trojuholníka ABC. Opíšme bodom AOB kružnicu k. Nech je druhý prienik priamky AC s k bod P a druhý prienik priamky CB s k Q tak, že body P a Q ležia mimo trojuholníka ABC. Dokážte, že priamka CO je kolmá na priamku PQ.
5. Nájdite všetky kvadratické funkcie f, pre ktoré existujú celé čísla m, n také, že: f(m)=f(6m1), f(n)=f(315n).
6. Majme postupnosť reálnych čísel, pre ktorú platí, že a0=1 a an+1=7an+45an2362 pre každé nezáporné celé číslo n. Dokážte, že každý člen tejto postupnosti je kladné celé číslo.

Newsletter

Nenechajte si ujsť akcie, ktoré chystáme a odoberajte náš newsletter!