Majme ostrouhlý trojuholník $ABC$ s obvodom $20$. Kružnica, ktorej stred je priesečníkom osí vonkajších uhlov trojuholníka pri vrcholoch $A, B$, sa dotýka polpriamky $CA$ v bode $D$. Aká je dĺžka úsečky $CD$?

Robo a Mišo hrajú hru a striedajú sa v ťahoch, pričom Robo začína. V každom ťahu hráč vyberie číslo od 1 do 5 (vrátane) a napíše ho. Hra skončí, keď hráči napísali spolu $n$ čísel. Mišo vyhrá hru, ak je na konci hry súčet všetkých napísaných čísel násobok 9, a Robo vyhrá, ak nie je. V závislosti od $n$ zistite, kto hru vyhrá, ak obaja hrajú najlepšie, ako vedia.

Na ostrove žije 47 poctivcov a 23 podvodníkov. Každého z nich požiadame, aby nám napísal mená niekoľkých poctivcov (môžu napísať aj vlastné meno). Vieme, že poctivci napísali iba poctivcov, podvodníci však mohli, ale nemuseli, napísať aj podvodníkov. Dokážte, že ak je na každom zozname práve 23 rôznych mien, vieme zistiť meno aspoň jedného poctivca.

Nech $n$ je kladné celé číslo. Zoraďme vzostupne podľa hodnoty všetky zlomky $0 < p/q < 1$ v základnom tvare (čitateľ aj menovateľ sú kladné celé čísla) také, že $q \leq n$. Ukážte, že postupnosť čísel (nie cifier) v ich menovateľoch je rovnaká spredu aj zozadu.

Je daná $n\times n$ tabuľka, pričom $n$ je nepárne kladné celé číslo. Každá z $2n(n+1)$ jednotkových úsečiek ohraničujúcich jednotkové štvorce je buď modrá, alebo červená. Vieme, že najviac $n^2$ úsečiek je červených. Dokážte, že existuje jednotkový štvorec tabuľky, ktorého hranice pozostávajú z aspoň troch modrých úsečiek.

Daný je trojuholník $ABC$. Priamka rovnobežná so stranou $BC$ pretína strany $AB$ a $AC$ postupne v bodoch $P$ a $Q$. Nech $M$ je vnútorný bod trojuholníka $APQ$. Úsečky $MB$ a $MC$ pretínajú úsečku $PQ$ postupne v bodoch $E$ a $F$. Označme $N$ druhý priesečník kružníc opísaných trojuholníkom $PMF$ a $QME$. Dokážte, že body $A$, $M$, $N$ ležia na jednej priamke.

Máme dve kružnice $k_1$ a $k_2$, pričom $k_2$ je menšia a dotýka sa $k_1$ zvnútra v bode $X$. Stredy kružníc $k_1$, $k_2$ označme v poradí $S_1$, $S_2$. Bod $P$ leží vnútri $k_1$ a neleží na $k_2$ ani na priamke $S_1S_2$. Body $N_1$ a $F_1$ sú priesečníkmi kružnice $k_1$ a priamky $S_1P$ tak, že $|N_1P| < |F_1P|$. Analogicky, body $N_2$ a $F_2$ sú priesečníkmi kružnice $k_2$ a priamky $S_2P$, pričom $|N_2P| < |F_2P|$. Dokážte, že uhly $N_1XN_2$ a $F_1XF_2$ sú zhodné.

Nech $q$ je reálne číslo. Majme potom tri kladné celé čísla $a$, $b$, $c$ také, že $q+a$, $q+b$, $q+c$ sú po sebe idúce členy geometrickej postupnosti s kvocientom iným ako 1. Ukážte, že $q$ je racionálne.

Dano a Peťo hrajú hru. Dano začína a striedajú sa v ťahoch. Jeden ťah pozostáva z napísania jednej cifry na tabuľu, pričom každá cifra môže byť napísaná buď na začiatok, alebo na koniec postupnosti cifier, ktoré už sú na tabuli. Dokážte, že Dano vie svojimi ťahmi zariadiť to, že číslo na tabuli (skladá sa zo všetkých cifier v tom poradí, ako sú napísané v desiatkovej sústave) po žiadnom Peťovom ťahu nebude druhou mocninou prirodzeného čísla.

Na vedúcovskom sústredení sa stretlo 2020 vedúcich. V rámci tréningu na športy sa postupne stretli v spoločenskej všetky neprázdne podmnožiny vedúcich (každá inokedy). Vždy, keď sa podmnožina stretla, dohodla si svoj bojový pokrik, no vybrať si mohla iba z dvoch možností: “Vedúci, horia pukance!” alebo “Nemám vodu!”. Jednotlivé podmnožiny si zvolili pokriky tak, aby platilo, že podmnožina, ktorá je zjednotením dvoch množín s rovnakým pokrikom, si tiež zvolila ten istý pokrik. Pre každé celé číslo $n$, $0 \leq n < 2^{2020}$, ukážte, že si mohli zvoliť pokriky tak, že práve $n$ podmnožín má pokrik “Vedúci, horia pukance!”.

Nech $ABCD$ je tetivový štvoruholník taký, že $|AB|+|CD|=|BC|$. Ukážte, že osi uhlov $DAB$ a $CDA$ sa pretínajú na úsečke $BC$.

Uvažujme postupnosti z čísel $1, \dots , n$, ktoré neobsahujú podpostupnosť $a,b,a,b$ (nie nutne za sebou) pre žiadne rôzne $a$ a $b$, ani dve rovnaké čísla za sebou, a v ktorých najľavejšie výskyty čísel tvoria rastúcu postupnosť. Z nich vyberme také, ktoré obsahujú každé číslo aspoň raz a majú dĺžku $2n-1$, čo je zároveň maximálna dĺžka, akú tieto postupnosti môžu nadobudnúť (to ukazovať nemusíte). Napr. pre $n=3$ máme postupnosti 12321 a 12131. Ukážte, že ich počet je $C_{n-1}$, kde $C_0 =1$ a $C_{n}=C_0 C_{n-1}+C_1 C_{n-2}+ \dots +C_{n-1} C_0$ pre $n \geq 1$.