Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

Zadania seminára STROM, 41. ročník - Letný semester


Vzorové riešenia 1. série nájdeš v časopise STROM-41-5
Vzorové riešenia 2. série nájdeš v časopise STROM-41-6
Prosíme všetkých riešiteľov, aby dbali na čitateľnosť nahratých riešení - namiesto odfotenia riešenia zo zošita riešenie radšej napíšte na čistý papier formátu A4, oskenujte (prípadne využite mobilné aplikácie, ktoré skener nahradia) a nahrajte ho správne orientované vo formáte PDF. Riešiteľ riskuje stratu bodov za všetko, čo opravovatelia neprečítajú.
1. Štvorec s obsahom 5 je pokrytý 9 mnohouholníkmi s obsahom 1. Dokážte, že existujú dva mnohouholníky, ktorých prienik má obsah aspoň 1/9.
2. Na tabuli sú napísané čísla 1, 2, , 17. Čísla zotierame tak, že z nezotretých čísel si vyberieme ľubovoľné číslo k a zotrieme všetky delitele čísla k+17. Je možné zmazať všetky čísla?
3. Rovnostranný trojuholník je rozdelený na n2 zhodných trojuholníkov (napr. obrázok pre n=4). Niektoré z nich sú očíslované číslami od 1 do m tak, že susedné čísla sú vpísané do susedných trojuholníkov - majú spoločnú stranu. Dokážte, že mn2n+1.
uloha3
4. Biologička Janka pozoruje chameleóna, ktorý chytá muchy. Chameleón má však prešpekulované pravidlá, ako bude pri chytaní múch oddychovať. Pred prvou chytenou muchou oddychuje 1 minútu. Pred každou 2m-tou muchou oddychuje toľko minút, ako oddychoval pred m-tou muchou. Pred každou (2m+1)-ou muchou oddychuje o minútu viac, ako oddychoval pred m-tou muchou. Keď skončí niekoľko minútový oddych, chameleón okamžite chytí muchu a opäť začne oddychovať. Zistite:
  • Koľkátu muchu chytil chameleón po tom, čo prvý krát oddychoval 7 minút bez chytania?
  • Po akom dlhom oddychu chytil chameleón svoju 2047-mu muchu?
5. Je daný tetivový päťuholník ABCDE taký, že |AB|=|BC|. Bod P je priesečník priamok BE a AD a bod Q je priesečník priamok CE a BD. Priamka určená bodmi PQ pretne opísanú kružnicu v bodoch X, Y. Dokážte |BX|=|BY|.
6. Nech a,b,c sú kladné reálne čísla také, že abc=1. Dokážte, že a+b+c+341a+b+1a+c+1c+b.

Vzorové riešenia 1. série nájdeš v časopise STROM-41-5
Vzorové riešenia 2. série nájdeš v časopise STROM-41-6
Prosíme všetkých riešiteľov, aby dbali na čitateľnosť nahratých riešení - namiesto odfotenia riešenia zo zošita riešenie radšej napíšte na čistý papier formátu A4, oskenujte (prípadne využite mobilné aplikácie, ktoré skener nahradia) a nahrajte ho správne orientované vo formáte PDF. Riešiteľ riskuje stratu bodov za všetko, čo opravovatelia neprečítajú.
1. Dokážte, že ak p, q sú kladné celé čísla čísla, tak kladným celým číslom je aj 10p+q+210q+210p+436.
2. Dokážte, že v ľubovoľnom konvexnom mnohouholníku (okrem rovnobežníka) možno vybrať tri strany tak, aby priamky nimi určené tvorili trojuholník, v ktorom je daný mnohouholník obsiahnutý.
3. V každom vrchole štvorca máme 1 kamienok a v každom kroku môžeme previesť nasledujúcu operáciu: z ľubovoľného vrcholu zoberieme niekoľko kamienkov (najviac toľko, koľko ich tam je) a pridáme dvakrát viac kamienkov na niektorý zo susedných vrcholov. Je to možné robiť tak, aby sme na konci vo vrcholoch dostali (zaradom po obvode) 2016, 2015, 2017 a 2016 kamienkov?
4. Nájdite všetky kladné celé čísla n, ktoré sa nedajú zapísať v tvare n=[a,b]+[b,c]+[c,a], pričom a, b, c môžu byť ľubovoľné kladné celé čísla. Pozn: [a,b] označuje najmenší spoločný násobok čísel a,b.
5. Na odvesnách AC a BC pravouhlého trojuholníka ABC sú zvolené postupne body K a L a na prepone bod M tak, že platí |AK|=|BL|=a, |KM|=|LM|=b a uhol KML je pravý. Dokážte, že a=b.
6. Univerzálnou postupnosťou čísel 1, 2, ,n nazveme takú (konečnú) postupnosť týchto čísel, že vyčiarknutím niektorých jej členov z nej dostaneme ľubovoľnú permutáciu týchto čísel (napr. 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1 je univerzálna postupnosť čísel 1, 2, 3, lebo ľahko preveríme, že všetky permutácie, t.j. 1,2,3; 1,3,2; 2,1,3; 2,3,1; 3,1,2; 3,2,1 vzniknú vyčiarknutím niektorých jej členov). Nájdite najkratšiu univerzálnu postupnosť čísel 1, 2, 3 a potom aj čísel 1, 2, 3, 4 a dokážte, že kratšie neexistujú.

Newsletter

Nenechajte si ujsť akcie, ktoré chystáme a odoberajte náš newsletter!