Nech $a$ a $b$ sú kladné celé čísla a $c$ je kladné reálne číslo, pre ktoré platí: $$\frac{a+1}{b+c} = \frac{b}{a}.$$ Dokážte, že $c \geq 1$.

Nech $m$ je kladné celé číslo. Označme $a < b < c < d$ štyroch najmenších kladných deliteľov $m$. Nájdite všetky také $m$, pre ktoré platí $m=a^2 + b^2 + c^2 + d^2$.

Nech $ABC$ je trojuholník a $a$, $b$, $c$ sú postupne dĺžky jeho strán oproti vrcholom $A$, $B$ a $C$. Nech $S$ je obsah tohto trojuholníka. Dokážte, že ak $P$ je bod vo vnútri trojuholníka $ABC$, pre ktorý platí $a|PA|+b|PB|+c|PC|=4S$, tak potom $P$ je ortocentrum $ABC$.

V tabuľke $10 \times 10$ sú napísané všetky čísla od $1$ do $100$, v každom políčku práve jedno. V každom riadku zafarbíme tretie najväčšie číslo. Ukážte, že existuje riadok, v ktorom je súčet čísel menší alebo rovný súčtu zafarbených čísel.

Nech $p\geq 3$ je prvočíslo. Skokan Jozef skáče po $p$ kameňoch usporiadaných do kruhu. Začína na niektorom z kameňov a v $k$-tom skoku sa posunie o $k$ kameňov v smere hodinových ručičiek. Koľko rôznych kameňov navštívi počas prvých $p-1$ skokov?

Nápoveda: Ak skokan začína na kameni s číslom $0$, tak po $k$-tom skoku sa nachádza na kameni s číslom $1+2+\dots +k \mod p$. Nájdite všetky dvojice čísel $k_1 < k_2$, pre ktoré $1+\dots +k_1$ a $1+\dots + k_2$ dávajú rovnaký zvyšok po delení $p$.

Štvorsten $ABCD$, ktorého každá stena je ostrouhlý trojuholník, je vpísaný do sféry so stredom v bode $O$. Priamka prechádzajúca bodom $O$ kolmá na rovinu $ABC$ pretína túto sféru v bode $D'$, ktorý leží na opačnej strane roviny $ABC$ ako bod $D$. Priamka $DD'$ pretína rovinu $ABC$ v bode $P$, ktorý leží vnútri trojuholníka $ABC$. Dokážte, že ak $|\angle{APB}|= 2|\angle{ACB}|$, tak $|\angle{ADD'}| = |\angle{BDD'}|$.

Nápoveda: Dokážte, že body $A$, $B$ a $C$ jednoznačne určujú polohu roviny $ABD$. Ďalej dokážte, že kolmý priemet $D'$ do roviny $ABD$ leží na zadanej sfére.

Žanetka má dve spravodlivé hracie kocky (všetky čísla na nich padajú s rovnakou pravdepodobnosťou). Kristín má dve špeciálne hracie kocky, ktoré nie sú spravodlivé, ale sú totožné (napríklad, ak na jednej padá šestka s pravdepodobnosťou $1/2$, tak aj na druhej). Zistite, ktorá z nich má vyššiu šancu hodiť dve rovnaké čísla.

Mihál a Martin hrajú hru na štvorcovej mriežke $6\times6$. Vo svojom ťahu každý hráč zapíše do ľubovoľnej prázdnej bunky ľubovoľné racionálne číslo, ktoré sa ešte nenachádza nikde v mriežke. Začína Mihál a potom sa pravidelne striedajú. Keď budú vyplnené všetky políčka mriežky, v každom riadku sa zafarbí políčko s najväčším číslom. Mihál vyhrá, ak vie spojiť prvý a posledný rad čiarou prechádzajúcou len po zafarbených políčkach (čiara môže prechádzať aj rohom, ktorým susedia dve zafarbené políčka) a Martin vyhrá, ak mu v tom zabráni. Kto má v tejto hre víťaznú stratégiu a akú?

Nech $ABC$ je trojuholník s $|AC|>|AB|$ a $U$ je stred kružnice opísanej tomuto trojuholníku. Dotyčnice ku kružnici opísanej tomuto trojuholníku v bodoch $A$ a $B$ sa pretínajú v bode $T$. Os strany $BC$ pretína stranu $AC$ v bode $S$. Ukážte, že body $A, B, S, T$ a $U$ ležia na kružnici a že priamka $ST$ je rovnobežná s priamkou $BC$.

Dokážte, že neexistuje prvočíslo $p$, pre ktoré by existoval polynóm $px^2+ax+b$ v premennej $x$ s celočíselnými koeficientami $a$, $b$ a dvoma rôznymi racionálnymi koreňmi v intervale $(0,1)$.

Nájdite všetky funkcie $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ také, že pre všetky reálne čísla $x$ a $y$ platí $f(\lfloor x\rfloor y)=f(x)\lfloor f(y)\rfloor$, kde $\lfloor x\rfloor$ je najväčšie celé číslo menšie alebo rovné $x$.

Nápoveda: Rozoberte možné hodnoty $f(0)$, $f(1)$, $\lfloor f(0) \rfloor$ a $\lfloor f(1) \rfloor$. Ukážte, že vyhovujú iba niektoré konštantné funkcie.

Po štvorcovej tabuľke $(4k+2) \times (4k+2)$ sa pohybuje prefíkaný leňochod len medzi štvorčekmi susediacimi hranou. Leňochod spraví nasledovnú prechádzku: začne v rohovom štvorčeku tabuľky, prejde každým štvorčekom práve raz a skončí na mieste, kde začal. V závislosti od $k$ určte najväčšie prirodzené číslo $n$ také, že v tabuľke musí existovať riadok alebo stĺpec, do ktorého leňochod vstúpil aspoň $n$-krát (vstúpiť do riadku/stĺpca znamená presunúť sa z iného riadku/stĺpca do tohto riadku/stĺpca).

Nápoveda: Ukážte, že sa nemôže stať, aby do prvého riadku a zároveň aj do prvého stĺpca vchádzalo $2k+1$ krokov. Následne ukážte, že pre $2k+2$ existuje vyhovujúca trasa.